أخبار ومستجدات

 
 
صورة Amri Med
أنظمة العدّ
بواسطة الأربعاء, 6 يناير 2016, 9:52 م - Amri Med
 

الفهرس


1   مقدمة

    1.1 قاعدة العدّ

2   أنظمة العدّ

    2.1 النظام العشري

    2.2 التحويل من الثنائي أو الثماني أو الست-عشري إلى العشري

        2.2.1   التحويل: ثنائي ==> عشري

        2.2.2   التحويل: ثماني ==> عشري

        2.2.3   التحويل: ستعشري ==> عشري

    2.3 القاعدة الثنائية

    2.4 القاعدة الثمانيّة

    2.5 القاعدة الست-عشرية

    2.6 نظام BCD: عشري بتشفير ثنائي (Binary Coded Decimal)

3   التحويل بين أنظمة العدّ

    3.1 التحويل: عشري ==> ثنائي

    3.2 التحويل: عشري ==> ثماني

    3.3 التحويل: عشري ==> ستعشري

        3.3.1 الطريقة الأولى

        3.3.2 الطريقة الثانية

    3.4  التحويل: ثنائي ==> ستعشري

    3.5 التحويل: ستعشري ==> ثنائي

4   الخلاصة

5   تمارين تطبيقية

6   إصلاح

 
صورة Amri Med
مقدمة
بواسطة الأربعاء, 6 يناير 2016, 9:04 م - Amri Med
 

احتاج الانسان ، منذ القديم، إلى قيس الكميات، وخاصة عند عمليات التبادل التجاري؛ وتعددت محاولات تقدير الكميات عبر الرموز (الأعواد، الأرقام الرومانية، الخ...) إلى أن فرض الترقيم العربي نفسه عالميا باعتبار قدرته الجيدة في معالجة العمليات الحسابية المعروفة.


تعودنا على الاستخدام اليومي لنظام العد العربي حتى أننا أغفلنا تركيبته وقواعد كتابة أرقامه، وخصوصا مفهوم القاعدة العشرية.


في عصرنا الحاضر، يتم استخدام عديد أنظمة العدّ، وخاصة في العلوم الرقمية؛ الأكثر شهرة منها هي النظام الثنائي (نظام العد على قاعدة 2) والنظام الست-عشري(نظام العد على قاعدة 16). كما يوجد أنظمة العد العشرية والثمانيّة و ونظام BCD.


في كل الأحوال ومهما كان نظام العدّ، يتوجب تحويل القيم الرقمية إلى قيم ثنائية لكي يتم استخدامها في الدارات الرقمية. على سبيل المثال، عندما تكتب عددا عشريا على الآلة الحاسبة، ستقوم الدارات الرقمية بتحويله إلى قيمة ثنائية حتى تتمكن من استخدامه.


    1.1 قاعدة العدّ

    

قاعدة نظام العدّ هي عدد الرموز المختلفة التي يستخدمها ذلك النظام لعرض الأعداد.

وهكذا يمكننا القول أن نظام العدّ العشري هو نظام عدّ على قاعدة 10 لأن الرموز التي يستخدمها عددها عشرة: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

نظام العدّ الثنائي يستخدم رمزين اثنين وهي: 0 و 1

النظام الثماني يستخدم 8 رموز وهي 0،1،2،3،4،5،6،7

النظام الست-عشري يستخدم 16 رمزا، وهي: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 F E D C B A


عندما نكون بحاجة إلى معالجة أعداد من قواعد عدّ مختلفة، يكون من الأفضل تحديد قاعدة العدّ المستخدمة لتجنب كل إرباك. على سبيل المثال:

    - يفترض عرض العدد العشري 7264 بالطريقة التالية: (7264)10 . الرمز السفلي 10 يمثل القاعدة المستخدمة لتمثيل العدد.

    - يفترض عرض العدد الثنائي 1011 كما يلي: (1011)2

    

من المهم تذكر أن أي عدد يتم تركيبه بالشكل التالي:

    - (7264)10 = 7*10³ + 2*10² + 6*10¹ + 4*10⁰

    - (1011)2 = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰

صورة Amri Med
أنظمة العدّ
بواسطة الثلاثاء, 17 أكتوبر 2017, 10:37 م - Amri Med
 


    2.1 النظام العشري

    النظام العشري هو النظام المستخدم عالميا، فهو بذلك يعتبر قاعدة العدّ المرجعية، مما يعني أن أي عدد تمت كتابته دون تحديد القاعدة هو ضمنيا عدد عشري.

    

    2.2 التحويل من الثنائي أو الثماني أو الست-عشري إلى العشري

    تحويل عدد من أي نظام عدّ إلى النظام العشري يعتمد دائما نفس الأسلوب. للتعرف على العدد العشري، يكفي إجراء عملية جمع لكل رقم مضروبا في أس القاعدة حسب ترتيبه في العدد. هذه بعض الأمثلة:

        2.2.1   التحويل: ثنائي ==> عشري

        100101(2) = 1*2⁵ +0*2⁴ +0*2³ +1*2²+0*2¹ +1*2⁰ = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 37(10)

        

        2.2.2   التحويل: ثماني ==> عشري

           7036(8) = 7*8³ +0*8² +3*8¹ +6*8⁰ = 3584 + 0 + 24 + 6 = 3614(10)


        2.2.3   التحويل: ستعشري ==> عشري

        2C5A16 = 2*16³ + (12)10*16² + 5*16¹ + (10)10*16⁰ = 8192 + 3072 + 80 + 10 = (11354)10

    2.3 القاعدة الثنائية

    هي القاعدة المستخدمة في الالكترونيك؛ هي نظام عدّ على قاعدة ..2..، وهي بالتالي تتكون من الرمزين 0 و 1 . كل واحد منهما يسمى "بِتْ" (bit) اختصارا لعبارة Binary Unit أو Binari Digit.

    في النظام الثنائي نعدّ إذن بالطريقة التالية:


    

    ملاحظات: في الالكترونيك وفي الاعلامية، تتم معالجة الأعداد الثنائية في أغلب الأحيان حسب أحد المكونات التالية:

    - بِتْ واحد يمثل حالة المتغير: نشط أو خامل

    - 4 بِتّات تسمى رباعي Quartet

    - 8 بتّات تسمى بايت (بالفرنسية Octet وبالأنجليزية Byte)

    - 16 بِت تسميها انتل كلمة (Word) وتسميها موتورولا بايت مضاعف (Double Byte)

    - 32 بت

    - 64 بت

    

    2.4 القاعدة الثمانيّة

    فرض هذا النظام المبني على قاعدة ..8.. نفسه في الالكترونيك الرقمي لعدة سنوات خلت، غير أن القاعدة الست-عشرية حلّت محلّه، ويمكن القول أن قاعدة البايت في طريق الاندثار؛ لكنه لازال مستخدما في الأجهزة الاعلامية القديمة.

    في النظام الثماني نعدّ إذن بالطريقة التالية:



    2.5 القاعدة الست-عشرية

    نظام العدّ على قاعدة 16 وهو الأكثر استخداما في الالكترونيك الرقمي لأنه يتيح معالجة رباعيات (Quartets) ممثلة بحجم مصغر، وهذا ليس بالشيء الهين في الأنظمة الحالية ذات الذواكر الضخمة. القاعدة 16 هي حجم مصغر من القاعدة 2.

    - الرباعي هو كلمة ثنائية تتكون من 4 بتات: 1011

    - في النظام الست-عشري نعدّ إذن بالطريقة التالية:


    

    2.6 نظام BCD: عشري بتشفير ثنائي (Binary Coded Decimal)

    هذا التشفير يحافظ على إيجابيات النظام الثنائي والنظام العشري. يتم تمثيل كل رقم من العدد العشري بواسطة رباعي (Quartet) ، غير أننا نحسب على قاعدة 10 مما يعني أن أعلى قيمة في أحد الرباعيات هو 9_(10) = 1001_(2). مثلا، سيتم تمثيل العدد العشري 857 كما يلي:


    

    تنبيه: 10(10) = 1010(2) = 00010000(BCD)

    

صورة Amri Med
التحويل بين أنظمة العدّ
بواسطة الأربعاء, 6 يناير 2016, 9:34 م - Amri Med
 


    3.1 التحويل: عشري ==> ثنائي

    رأينا في الفقرات السابقة كيف يمكننا المرور من نظام عدّ ثنائي إلى عشري بدون صعوبات تذكر، غير أن العكس (أي التحويل من العشري إلى الثنائي) أكثر تعقيدا. تتمثل طريقة التحويل في إجراء عمليات قسمة على 2 متتالية حتى الحصول على خارج قسمة يساوي 1 أو 0 كما هو مبين في المثال التالي:

    نريد تحويل العدد العشري 857 إلى عدد ثنائي

    


    3.2 التحويل: عشري ==> ثماني

    يتم استخدام نفس الأسلوب، أي قسمة العدد العشري على 8 قسمة متتالية إلى حين الوصول إلى خارج قسمة أصغر من القاعدة (أي أصغر من 8):



    3.3 التحويل: عشري ==> ستعشري

    

        3.3.1 الطريقة الأولى

        يتم استخدام نفس الأسلوب، أي قسمة العدد العشري على 16 قسمة متتالية إلى حين الوصول إلى خارج قسمة أصغر من القاعدة (أي أصغر من 16):


        

        3.3.2 الطريقة الثانية

        الأكثر استخداما على اعتبار أن الأعداد (في الالكترونيك الرقمي والحوسبة) مكتوبة مسبقا بنظام العد الثنائي، وهي طريقة تتمثل في تحويل العدد العشري إلى ثناائي في مرحلة أولى، ثم تحويل كل رباعي (Quartet) في العدد الثنائي إلى ستعشري كما في المثال التالي:


        

    3.4  التحويل: ثنائي ==> ستعشري

    يكفي تجميع البتات في رباعيات وتحديد مقابل كل رباعي كما في المثال التالي:



    3.5 التحويل: ستعشري ==> ثنائي

    يكفي تعويض كل رمز ستعشري في العدد إلى ما يقابله من رباعي كما في المثال التالي:


    

صورة Amri Med
الخلاصة
بواسطة الأربعاء, 6 يناير 2016, 9:37 م - Amri Med
 


صورة Amri Med
تمارين تطبيقية
بواسطة الأربعاء, 6 يناير 2016, 9:50 م - Amri Med
 


أ- حوّل 128(10) في الأربع أنظمة المذكورة سابقا

ب- حوّل 517(10) في الأربع أنظمة المذكورة سابقا

ج- حوّل 110001011101(2) إلى عدد عشري ثم عدد ستعشري

د- حوّل 571(10) إلى ستعشري

هـ- حوّل إلى عدد عشري كل من 37FD16 و 2C016

و- اجمع 11101001(2) + 111001(2)

ز- اجمع 11111111(2) + 1(2)

ح- اجمع 1110(2) + 1010(2)

ط- اجمع 4AF16 + B2516

ي- اجمع FF16 + FF16

ك- اجمع 2F16 + 11012

ل- حوّل 221(3) إلى عدد عشري

م- أكمل الأعداد الستعشرية الناقصة:

280, 281, ........ 289, .........., 28F, ..........., 299, ............, 2A1

ن- إلى أي نظام أو أنظمة عد ينتمي كل عدد من الأعداد التالية:

    321CD

    1010

    781

    432

    3CA

ق- ما هو أكبر عدد ثنائي (ومقابله العشري) يمكن تكوينه بثمان بتات؟

ص- ما هو أكبر عدد ثنائي يمكن تكوينه بـ16 بت؟ ما هو مقابله العشري والست-عشري؟